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edushare 發表於 2015-3-27 13:39

昨晚,你被那國小數學四邊形逼瘋了嗎?

2015-03-27 01:56:08 聯合報 記者陳皓嬿╱即時報導

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網友「k4」在PTT出了一道看似簡單,但難倒大家的國小數學題目。  圖/翻攝自PTT

昨天晚上,有一道國小數學題目,把眾網友逼瘋,該問題也被轉載到臉書社群上,讓困惑的族群快速擴大中。

昨晚在PTT八卦版上,有一位網友「k4」PO了一張圖片,並問「圖中灰色面積是多少」([url]http://disp.cc/b/163-8zJJ[/url])。

根據k4提供的圖片,該圖為一個60公尺x35公尺的長方形,中間開了兩條底為8公尺的直的平行四邊形道路,還有一條底為5公尺的橫的平行四邊形道路。

該題目問,如果扣掉這三條白色道路的面積,剩下的灰色面積為多少?

一開始許多人紛紛吐嘈、嘲笑k4,提出「平行四邊形面積=底x高=同底等高的長方形面積」,因此只要將歪斜的道路拉直,然後併到邊邊角角,就可以算出灰色區域的面積,等同於一個長為60-8X2=44公尺,寬為35-5=30公尺的長方形,其面積為44x30=1320平方公尺(如下圖)。
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網友「flame2yayaya」提出把平行四邊形的道路挪移並轉換成長方形的解法,但行不通。 圖/翻攝自PTT

但這個解法很快被打臉(並還k4一個清白),因為把白色道路拆掉後,灰色區域怎麼樣都無法拼成一個完整的長方形,中間會留有空隙,因此網友們頓時將題目難度從國小躍升到大學以上等級,引起大家熱烈討論。

後來,有人先把題目的圖畫到紙上,然後將中間道路剪下來,發現剩餘部分的確無法拼成完整長方形,但邊邊多出來的部分能否靠「挖東牆補西牆」補上,又有爭議。

有人則祭出工程繪圖軟體CAD,把圖重新繪製一遍,後來發現問題癥結點,是當直的兩條路和橫的那條路之間,夾角變化不同時,中間重疊的部分,面積也會跟著變動?

CAD挪移的結果顯示,當橫路與直路夾的內角較小時,重疊的平行四邊形所佔面積最大,因此灰色面積總和最小,當橫路與直路互相垂直時,重疊的平行四邊形所佔面積最小,灰色的面積總和最大,等於1320平方公尺(如下圖)。
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網友「matt80612」用工程繪圖軟體,把道路不同夾角的情況都畫出來,發現只要夾角變,灰色區域的面積就跟著變。 圖/翻攝自PTT

為了讓大家可以早點洗洗睡,記者也默默祭出聯合報「閱讀數學」專欄作家賴以威解惑。

半夜被要脅因此還不能睡覺的賴以威解釋,問題關鍵卡在「中間重疊的平行四邊形角度未知,所以無法推算其面積」;換句話說,只要兩路夾角一變動,中間重疊面積就會跟著變,因此此題無解。

賴以威舉例,先看橫路(寬為5公尺)平行長方形的長的情況,在此條件下,該橫路的寬(5公尺)就會是中間重疊平行四邊形的高,因此只要直路的寬(都是8公尺)不變,不管直路和橫路間的角度如何變化,中間重疊的平行四邊形面積都是固定的,面積等於直路寬(底)X橫路寬(高)=8X5=40平方公尺。

但賴以威指出,只要橫路沒有平行於長方形的長,那麼中間重疊的平行四邊形的底和高就都改變了,平行四邊形的高不再是5公尺,因此中間重疊的面積必然不相同。
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證明道路夾角變動,就會使中間重疊面積也跟著改變。  圖/記者陳皓嬿繪

比較兩個例子(見上圖,記者半夜只能陽春手繪真是不好意思,請各位別介意)。

例子一是如上所述,橫路、直路的寬都是8,且橫路(藍色)平行於長方形的長,因此不管直路(紅色)的角度如何歪斜,兩者中間重疊的平行四邊形面積皆為8X8=64。

例子二則是同樣維持直路橫路寬為8,但是橫路(藍色)不平行長方形的長,直路(紅色)不平行長方形的寬,而兩路互相垂直,因此中間重疊的面積是一個正方形。

正方形的邊為8cosθ,或是8cosφ,根據RHS相似,θ=φ(廢話,正方形的邊當然都一樣長),所以計算該正方形面積,會等於8cosθ X 8cosφ = 64(cosθ)^2,而只有在θ=0的時候,cosθ才會等於1,因此很顯然例二中的正方形面積,不等於例一中的平行四邊形面積。

好啦,證明完畢,大家趕快洗洗睡吧!還有疑問的話,歡迎讀者上賴以威的臉書([url]https://www.facebook.com/iweilai0924[/url])繼續討論。

下圖是網友製作的「互動繪圖」[url]http://tube.geogebra.org/student/mHf26bqcB[/url],打開該頁面可以看到左邊長方形上的紅點可以拖曳,以改變三條道路的角度,並觀看面積變化;右方的圖則是將三條道路拿掉後,讀者可以試圖拖曳不同的四邊形,將灰色剩餘面積拼拼看能不能變成一個長方形。
[img]https://tube.geogebra.org/files/00/00/91/58/material-915813.png[/img]

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